Завдання і розв'язки ІІ етапу олімпіади з математики 2019 р.

Другий етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

м. Тернопіль. 3листопада 2019 року

Завдання. 6 клас

1.     Підберіть замість літер А, Б, В, Г, Д, Е цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6 таким чином, щоб утворилася правильна рівність:

Тут різним буквам мають відповідати різні цифри. Достатньо знайти одну відповідь.    

2.     Сашко, Борис і Василь збирали гриби. Борис знайшов грибів на 20%  більше, ніж Сашко, але на 20% менше, ніж Василь. На скільки відсотків більше грибів знайшов Василь, ніж Сашко?

3.     Вік старого Чарівника записується числом із різними цифрами. Про це число відомо, що: 1) перша цифра більша за останню в 4 рази; 2) якщо першу та останню цифри закреслити, то дістанемо двоцифрове число, яке при сумі цифр 13 є найбільшим. Скільки років старому Чарівнику? 

4.     У кожній клітинці дошки 4 × 4 є лампи. Дві лампи на цій дошці називають сусідніми, якщо вони розташовані в клітинках зі спільною стороною. Спочатку вмикають декілька ламп, згодом щохвилини вмикають кожну лампу, що має щонайменше дві сусідні лампи, що світять. Яку мінімальну кількість ламп треба увімкнути спочатку, щоб в певний момент часу усі лампи світились?

Завдання. 7 клас

1.   Розв’яжіть рівняння:

2.     Градусні величини кутів α та β відносяться як 5:4, а про суміжні до них кути відомо, що один удвічі більший за інший. Знайдіть градусні міри кутів  α та β .

3.     Знайдіть всі двоцифрові числа, які збільшуються у 8,5 разів, якщо між цифрами вписати цифру 0.

4.     Дволітрова пляшка оранжу містить 80% води та 20% апельсинового соку. Марічка хоче вилити частину цього оранжу та долити чистий апельсиновий сік, щоб отримати напій об’ємом 2 літра, що містить у рівних долях воду та апельсиновий сік. Скільки вона має вилити оранжу?

5.     Олеся написала на дошці кілька попарно різних натуральних чисел. Андрійко не зміг вибрати серед цих чисел трьох, сума яких ділилася б на 3. Яку найбільшу кількість чисел могла виписати Олеся?   

Завдання. 8 клас

1.     У землю посадили рослину з 4 листочками без жодної квіточки. Кожного нового дня на ній виростає або 3 нові квіточки та 7 листочків, або 4 нові квіточки та 9 листочків. По завершенні певного часу на рослині було 50 листочків. Скільки на той момент на рослині було квіточок?

2.     Знайдіть цифру сотень числа 5²⁰¹⁹ .

3.     Відмінниця однієї з шкіл області Оксана у 2018 році мала вік, який дорівнював потроєній сумі цифр її року народження. Точно таку властивість щодо віку має й її дідусь Остап – у 2018 році його вік дорівнював потроєній сумі цифр року його народження. Скільки років мав дідусь Оксанки, коли вона народилася?

4.     У трапеції ABCD з основами AD та BC кут при вершині B дорівнює 120˚. Крім того, справджуються рівності 3BC = 3AB = AD. Знайдіть величину кута ADC.

5.     2019 карток із числами від 0 до 2018 розклали в довільному порядку по коробках із номерами від 0 до 2018 так, що в кожну коробку потрапило рівно одне число. Після цього від кожного числа віднімають номер коробки, у якій воно знаходиться. Причому, якщо в результаті отримують від’ємне число, то до нього додають 2019. З’ясуйте, чи можна в результаті описаних дій отримати такий же набір чисел, як і на початку (можливо, в іншому порядку)?

Завдання. 9 клас

1.     Розв’жіть нерівність ǀ 4 х + 2 ǀ – ǀ х – 6 ǀ > 1.

2.     Квадрат гіпотенузи у 8 разів більший за квадрат висоти, опущеної з вершини прямого кута. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника.

3.      Знайдіть усі пари дійсних чисел (х, у), які задовольняють умови:

х + у = х² + у² = х³ + у³.

4.     Числа  x  і y  такі, що виконується рівність: .

Знайдіть значення виразу   .

5.     На дошці зліва направо у вказаному порядку записані усі натуральні числа 1, 2, …, 1000. Петрик робить таку операцію – він витирає усі числа через одне поки не дійде до кінця рядка чисел, причому найпершу цифру 1 він за правилами витерти не може. Далі повертається до лівого краю і повторює цю операцію доти, доки не будуть витерті усі записані на дошці числа через одне. Продовжуючи діяти аналогічно, яке число витре Петрик останнім?

Завдання. 10 клас

1.     Розв’яжіть рівняння :   .

2.     На столі лежать дев’ять карток, на яких написано числа  -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4. Двоє гравців по черзі беруть собі ці картки. Виграє той, хто першим збере три картки з числами, сума яких дорівнює 0. Якщо жодному гравцю не вдається це зробити, то оголошується нічия. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію? Якщо має, то хто?

3.     Бісектриса кута  трикутника ділить протилежну сторону на відрізки завдовжки 4 см та 2 см, а висота, проведена до тієї самої сторони, дорівнює  см. Визначити довжини сторін трикутника, коли відомо, що вони виражаються цілими числами.

4.     Порівняйте значення виразів:

       і           .

5.     Знайдіть всі такі пари натуральних чисел а і b, для яких виконується рівність:

Завдання. 11 клас

1.     Побудуйте графік функції .

2.     Відстані від центра кола, вписаного в прямокутний трикутник, до вершин його гострих кутів дорівнюють  і . Знайдіть катети прямокутного трикутника.

3.     Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння  має тільки один дійсний корінь.

4.     Нехай додатні числа  a,  b,  c  та дійсні числа  x,  y,  z задовольняють рівність . Доведіть, що

.

5.     Вузли нескінченного аркуша паперу в клітинку зафарбовані в три кольори (причому всі три кольори присутні). Довести, що знайдеться прямокутний трикутник (з катетами, які не обов’язково збігаються з лініями сітки), вершини якого розміщені у вузлах і зафарбовані у різні кольори.

Розв'зки олімпіадних задач